线性代数 (一) - 概念、特性及运算 // 圆方

概念

线性代数 (Linear Algebra) 是数学中处理向量空间和线性映射之间的关系的一个分支。它包含了许多基本概念和术语，以下是一些主要的概念。

下面的方程组的概念都特指线性方程组。

基础概念

标量（Scalar）：一个单一的数值，通常表示向量空间中向量的长度或大小。
- 表示：通常用小写字母表示，如 $ a $, $ b $, $ c $。
向量（Vector）：具有大小和方向的量，可以在 n 维空间中表示。
- 表示：通常用箭头符号，如 $ \vec{v} $, $ \vec{u} $。例如：在二维空间中，一个向量可以表示为 $ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $。
向量空间（Vector Space）：一个由向量组成的集合，这些向量可以通过加法和标量乘法进行组合。
- 表示：通常用大写字母表示，如 $ V $, $ W $。

矩阵和行列式

矩阵（Matrix）：一个矩形的数字阵列，可以表示线性变换。
- 表示：通常用大写粗体字母表示，如 $ \mathbf{M} $, $ \mathbf{A} $。例如：一个 2x2 矩阵可以表示为 $ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $。
方阵（Square Matrix）：一个 m 行和 n 列的矩阵称为 m x n 阵，如果矩阵的行数和列数相等，即 m = n 则称该矩阵为方阵。
行列式（Determinant）：一个与方阵相关的标量值，可以提供方阵的某些属性，如是否可逆。
- 表示：使用“det”表示或矩阵符号内加竖线，如 $ \det(\mathbf{A}) $ 或 $ |\mathbf{A}| $。例如：一个 2x2 矩阵的行列式为 $ |\mathbf{A}| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $。
逆矩阵（Inverse Matrix）：一个矩阵的逆，与原矩阵相乘结果为单位矩阵。
- 表示：使用上标“-1”表示，如 $ \mathbf{A}^{-1} $。
单位矩阵（Identity Matrix）：一个主对角线上元素为 1，其他元素为 0 的方阵。
- 表示：通常用 $ \mathbf{I} $ 表示。例如：2x2 单位矩阵为 $ \mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $。

线性映射和变换

线性变换（Linear Transformation）：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 表示：通常用大写字母表示，如 $ T $。例如：$ T(\mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{v} $，其中 $ \mathbf{A} $ 是变换矩阵。
特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：一个线性变换下不改变方向的非零向量和对应的标量。
- 表示：特征值通常用 $ \lambda $ 表示，特征向量用 $ \mathbf{v} $ 表示。例如：$ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} $。

向量操作

点积（Dot Product）：两个向量的乘积，反映了它们的方向关系和长度。
- 表示：$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $
叉积（Cross Product）：两个向量的乘积，结果是一个垂直于这两个向量的第三个向量。
- 表示：$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $
范数（Norm）：向量的长度或大小。
- 表示：$ |\mathbf{v}| $

线性方程组

线性方程组（System of Linear Equations）：一组线性方程，可以用矩阵表示。
- 表示：使用增广矩阵或等式组，如 $ \mathbf{Ax} = \mathbf{b} $。
高斯消元法（Gaussian Elimination）：解线性方程组的一种方法。
秩（Rank）：矩阵列（或行）的最大线性无关集合的大小。

空间

子空间（Subspace）：向量空间中的一个集合，本身也是一个向量空间。
- 表示：通常用 $ U $, $ W $ 等大写字母表示。
列空间和零空间（Column Space and Null Space）：矩阵的列空间是其列向量的所有线性组合，零空间是使矩阵乘以向量等于零向量的所有向量的集合。

进阶概念

基（Basis）：向量空间的一个线性无关向量集，可以通过线性组合来表示空间中的每一个向量。
- 表示：一组基向量通常用集合表示，如 $ { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n } $。
维度（Dimension）：基中向量的数量。
- 表示：使用“dim”表示，如 $ \dim(V) $。
线性相关和线性无关（Linearly Dependent and Linearly Independent）：一组向量是否可以通过线性组合互相表示的属性。
正交和正交化（Orthogonality and Orthogonalization）：向量之间的垂直关系及其过程。
- 表示：正交向量用点积为 0 表示，如 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $。
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：将矩阵分解为奇异向量和奇异值。
- 表示：$ \mathbf{A} = \mathbf{U}\Sigma\mathbf{V}^T $，其中 $ \mathbf{U} $ 和 $ \mathbf{V} $ 是正交矩阵，$ \Sigma $ 是对角矩阵。

这些概念是线性代数的基础，用于解决多种数学、科学和工程问题，特别是在计算机图形学、机器学习、优化问题等领域中有着广泛的应用。

线性方程组和矩阵

下面包含了三组线性方程组：

$(a) \cases {\begin{aligned} &x_1 + 2x_2 = 5 \\ 2&x_1 + 3x_2 = 8 \end{aligned}}$ $(b) \cases {\begin{aligned} &x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ 2&x_1 + x_2 - x_3 = 4 \end{aligned}}$ $(c) \cases {\begin{alignat}{1} x_1& + x_2&= 2 \\ x_1& - x_2&= 1 \\ x_1&&= 4 \end{alignat}}$

方程组 (a) 称为 2x2 的方程组，(b) 称为 2x3 的方程组，(c) 称为 3x2 的方程组。

等价方程组

考虑下面两个方程组

$(a) \cases {\begin{alignat}{1} 3&x_1& + &2&x_2 & - & &x_3 &= &-&2 \ \ \ [{\color{red}{\ a1\ }}]\\ & & & &x_2 & & & &= & &3 \ \ \ [{\color{red}{\ a2\ }}] \\ & & & & & &2&x_3 &= & &4 \ \ \ [{\color{red}{\ a3\ }}] \end{alignat}}$ $(b) \cases {\begin{alignat}{1} &3x_1 &+ &2&x_2 - x_3 &= -&2 \ \ \ [{\color{green}{\ b1\ }}]\\ -&3x_1 &- &&x_2 + x_3 &= &5 \ \ \ [{\color{green}{\ b2\ }}]\\ &3x_1 &+ &2&x_2 + x_3 &= &2 \ \ \ [{\color{green}{\ b3\ }}] \end{alignat}}$

(b) 方程组和 (a) 方程组具有相同的解：

将 (b) 的 $\color{green}{b1}$ 和 $\color{green}{b2}$ 两个方程相加得出 $\begin{alignat}{1} 3&x_1 &+ &2&x_2 &- &x_3&=-&2 \ \ \ [{\color{green}{\ b1\ }}]\\ -3&x_1 &- & &x_2 &+ &x_3&= &5 \ \ \ [{\color{green}{\ b2\ }}]\\ \hline & & & &x_2 & & &= &3 \ \ \ [{\color{red}{\ a2\ }}]\end{alignat}$

将 (b) 的 $\color{green}{b3}$ 方程减去 $\color{green}{b1}$ 方程得出 $\begin{alignat}{1} 3x_1 &+ 2&x_2 + x_3 &= &2 \ \ \ [{\color{green}{\ b3\ }}] \\ 3x_1 &+ 2&x_2 - x_3 &= -&2 \ \ \ [{\color{green}{\ b1\ }}]\\ \hline &&2x_3 &= &4 \ \ \ [{\color{red}{\ a3\ }}]\end{alignat}$

所以，方程组 (b) 的解必为方程组 (a) 的解。通过运算方程组 (a) 也能证明方程组 (a) 的解必为方程组 (b) 的解。

系数矩阵

把 (b) 方程组系数提出来便得到系数矩阵 (coefficient matrix)：$ \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -3 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$。

增广矩阵

把 (b) 方程组的常数项提出来和系数矩阵形成新的矩阵叫增广矩阵 (augmented matrix)：$\left [ \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & -2 \\ -3 & -1 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right ]$。竖线左边是系数项，右边是常数项。

方程组的求解和分析

求解方程组的过程通常是一个消元过程。这个过程的目标是简化方程组，使其更容易解析或直接找到解。通常可以使用高斯消元法 (Gaussian Elimination) 来求解方程。

方程组的所有解的集合称为方程组的解集 (solution set)。若方程组无解，则称该方程组是不相容 (inconsistent) 的，若方程组有解，则称该方程组是相容 (consistent) 的，

高斯消元法

高斯消元法有三种基础行运算，这三种行运算也被叫做初等行变换(运算)：

把一个方程的倍数加到另一个方程上;
互换两个方程的位置;
用一个非零数乘某一个方程;

对于 $ \cases {\begin{alignat}{1} 2&x+ 3y - 7 &= 0 \\ 3&x-5y+18 &= 0 \end{alignat}} $ 的齐次二元方程组，如何通过高斯消元来解呢？

步骤 1: 常数项移至方程式的右边，转成标准形式： $\cases {\begin{align} 2x+ 3y &= 7 \ \ \color{red}{①} \\ 3x-5y &= -18 \ \ \color{red}{②} \end{align}}$

步骤 2: 执行运算 $({\color{red}{①}} \times \frac{-3}{2}) + \color{red}{②}$，把标准形式进行消元简化为阶梯形方程组：$\cases { \begin{align}2x+ 3y &= 7 \ \ \color{green}{③} \\ -\frac{19}{2}x&= -\frac{57}{2} \ \ \color{green}{④}\end{align}}$

步骤 3: 解方程 $\color{green}{④}$，y = 3，然后回代 (back-substitution)到方程 $\color{green}{④}$，x = -1。

矩阵高斯消元运算

下面展示矩阵如何使用高斯消元法来解它。让我们考虑以下方程组： $$ \cases { \begin{align} x + 2y + z = 9 \\ 2x - y + 2z = 8 \\ -3x + 3y - z = 3 \end{align} } $$

步骤 1: 首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式： $ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 2 & -1 & 2 & 8 \\ -3 & 3 & -1 & 3 \end{array} \end{bmatrix} \begin{align} \ \ \color{red}{①}\\ \ \ \color{green}{②} \\ \ \ \color{blue}{③} \end{align} $

步骤 2: 使用高斯消元法进行消元，我们将进行一系列的行操作来转换这个矩阵，形成一个行阶梯形矩阵(REF, Row-Echelon Form) 矩阵。

第一步: 使用第一行(主行)消去其他行中的 $x$

将第二行替换为第二行加上第一行的负两倍，${\color{green}{②}} =\color{green}{②} + {\color{red}{①}} \cdot (-2)$。
将第三行替换为第三行加上第一行的三倍，${\color{blue}{③}} = \color{blue}{③} + {\color{red}{①}} \cdot (3)$。

$ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -5 & 0 & -10 \\ 0 & 9 & 2 & 30 \end{array} \end{bmatrix} \begin{align} \ \ \color{red}{①}\\ \ \ \color{green}{②} \\ \ \ \color{blue}{③} \end{align} $

第二步: 使用第二行(主行)消去第三行中的 $y$

将第三行替换为第三行加上第二行的 ${9}\over{5}$ 倍，${\color{blue}{③}} ={\color{blue}{③}} + {\color{green}{②}} \cdot \frac{9}{5}$。

$ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} \color{coral}{1} & 2 & 1 & 9 \\ 0 & \color{coral}{-5} & 0 & -10 \\ 0 & 0 & \color{coral}{2} & 12 \end{array} \end{bmatrix} \begin{align} \ \ \color{red}{①}\\ \ \ \color{green}{②} \\ \ \ \color{blue}{③} \end{align} $

此时，这个行阶梯形矩阵就表示了一个严格三角形方程组。一个严格三角形方程组，说明了该方程组的解只有一个。该方程组和原方程组是等价的。在每一次变换后，方程组的维数实际上有效减一。

行阶梯形矩阵中，每一行的第一个非零元素称为主元 (pivot)，即 $\color{coral}{\set{1\ {-5}\ 2}}$。

步骤 3: 回代。一旦我们得到了阶梯形矩阵，我们将从最后一行开始回代，逐步求解每个变量。

从最后一行开始，我们可以直接求出 $z$：$ 2z = 12 \implies z = \frac{12}{2} = 6 $
然后我们可以使用第二行求出 $y$：$ -5y = -10 \implies y = \frac{-10}{-5} = 2 $
最后，我们使用第一行求出 $x$：$ x + 2y + z = 9 \implies x = 9 - 2y - z = 9 - 2 \cdot 2 - 6 = -1 $

因此，方程组的解是 ($x = -1$, $y = 2$, $z = 6$)。

RREF

在上面使用高斯消元法中，步骤 2 进行初等行变换后形成了行阶梯形矩阵 (REF)。在 REF 中：

元素全为 0 的行叫零行。
元素不全为 0 的行叫非零行。
非零行都在零行之上。
每行的首个非零元素（主元）位于前一行主元的右侧。
主元下方的所有元素都是 0。
以主元为系数的未知量叫做主变量，其余未知量叫自由未知量。

在形成行阶梯形矩阵后，可以继续对行阶梯形矩阵进行初等行变换，最后形成如下一个简化行阶梯形矩阵 (RREF, Reduced Row-Echelon Form)。

$ \begin{align} \color{red}{①}\ \ \\ \color{green}{②} \ \ \\ \color{blue}{③} \ \ \end{align} \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -5 & 0 & -10 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \end{array} \end{bmatrix} $ $\xrightarrow{{{\color{red}{①}}= {\color{red}{①}} + {\color{green}{②}} \cdot \frac{2}{5}}}$ $ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & 0 & -10 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \end{array} \end{bmatrix} $ $\xrightarrow{{{\color{red}{①}}= {\color{red}{①}} + {\color{blue}{③}} \cdot (-\frac{1}{2})}}$ $ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \end{array} \end{bmatrix} $ $\xrightarrow{{{\color{blue}{③}}={\color{blue}{③}} \cdot \frac{1}{2}}}$ $ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} \color{coral}{1} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & \color{coral}{1} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & \color{coral}{1} & 6 \end{array} \end{bmatrix} $

最后形成的 RREF 的常数项就是方程组的解是： ($x = -1$, $y = 2$, $z = 6$)。

在 RREF 中：

每一行的主元都为 1，而且是所在列唯一的非零数，即同列的其他元素都为 0。

RREF 是 REF 的一个特殊情况，提供了一种更加标准化和简化的矩阵形式，有助于直接从矩阵中读取解或进行进一步的数学处理。

RREF 分析

不同 RREF 构型具有不同的性质。

无解 (inconsistent): 当矩阵的某一行（除了最后一列）为零行，但最后一列的对应元素不为零时，方程组无解。例如：

$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a \\ 0 & 1 & 0 & | & b \\ 0 & 0 & 0 & | & c , (\text{且} c \neq 0) \end{bmatrix} $

在这个例子中，$ a $ 和 $ b $ 是任意实数，而 $ c $ 是一个非零实数。最后一行对应的方程是 $ 0x + 0y + 0z = c $，这在 $ c \neq 0 $ 时没有解。

唯一解（consistent and independent）: 当矩阵的每一行都有一个主元（该列的唯一非零元素），且不存在全零行时，方程组有唯一解。例如：

$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a \\ 0 & 1 & 0 & | & b \\ 0 & 0 & 1 & | & c \end{bmatrix} $

这里 $ a $, $ b $, 和 $ c $ 是任意实数。这个方程组的解是 $ x = a $, $ y = b $, $ z = c $。

无穷多解（consistent and dependent）: 当矩阵有至少一个非主元列，并且不存在使方程组无解的行时，方程组有无穷多解。例如：

$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & a & | & b \\ 0 & 1 & c & | & d \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} $

在这个例子中，$ a $, $ b $, $ c $, 和 $ d $ 是任意实数。最后一行是一个全零行，表示这个方程组是有依赖的，因此有无穷多解。

高斯-约当算法

高斯 (Gauss) -约当 (Jordan) 算法是高斯消元法的一个变体，主要目的是将矩阵简化为 RREF，它适用于计算机算法实现，能够处理处理大型矩阵的初等变换。

算法步骤：

选择主元：在每一步中，选择当前行的主元（首个非零元素）。不同于高斯消元法，这里主元是在整个矩阵中选择，而不仅仅是当前列的下方。
主元归一化：通过将主元所在的行乘以该主元的倒数，使主元变为 1。
消去上下元素：使用行运算，消去主元所在列的上方和下方的所有元素。这是高斯-约当算法与高斯消元法的主要区别，后者仅消去主元下方的元素。
重复以上步骤：对于每一行重复以上步骤，直到整个矩阵变为 RREF。
解读结果：在完成所有步骤后，矩阵的最后形态将直接显示出每个变量的值（对于方程组解的情况），或者如果是用于求矩阵逆，则最终矩阵右侧的增广部分即为所求的逆矩阵。

矩阵运算

矩阵加法、乘法和减法遵循特定的规则。这里是每种运算的一个例子：

加法

两个矩阵可以相加，如果它们的维度相同，即它们有相同数量的行和列。矩阵加法是逐元素的。

例如，设矩阵 $ A $ 和 $ B $ ： $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ $ B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $

矩阵 $ A + B $ 的结果是： $ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} $

减法

矩阵减法和加法类似，也是逐元素进行的。继续使用上面的矩阵 $ A $ 和 $ B $，矩阵 $ A - B $ 的结果是：

$ A - B = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix} $

乘法

矩阵乘法较为复杂，一个矩阵的列数必须等于另一个矩阵的行数。在矩阵乘法中，我们计算行与列之间的点积。

如果 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是一个 $ n \times p $ 矩阵，那么 $ AB $ 将是一个 $ m \times p $ 矩阵。

设矩阵 $ C $ 和 $ D $ ： $ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ $ D = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $

矩阵 $ C \times D $ 的结果是： $ C \times D = \begin{bmatrix} 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $

矩阵乘法不满足交换律，即 $ CD \neq DC$。

矩阵x逆矩阵=单位矩阵

$ \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} $ 它的逆矩阵 (Inverse Matrix) $ A^{-1} $ 为： $ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} $

当矩阵 $ A $ 与它的逆矩阵 $ A^{-1} $ 相乘时，结果是单位矩阵 $ I $： $ A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

单位矩阵 (identity matrix) ，通常表示为 $ I $，是一个特殊类型的方阵，其主对角线上的元素都是 1，而所有其他位置的元素都是 0。单位矩阵在矩阵乘法中起着类似于数学中数字 1 的作用。它是方阵的恒等元素，这意味着任何矩阵与单位矩阵相乘都会得到原矩阵。

单位矩阵的性质包括：

主对角线上的元素为 1：单位矩阵的主对角线（即从左上角到右下角的对角线）上的元素都是 1。
非对角线元素为 0：单位矩阵中所有不在主对角线上的元素都是 0。
乘法的恒等元素：对于任何与单位矩阵相乘的方阵 $ A $，都有 $ AI = IA = A $，其中 $ I $ 是与 $ A $ 同阶的单位矩阵。

2x2 单位矩阵： $ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

3x3 单位矩阵： $ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

可逆性判断

具有逆矩阵

矩阵可逆说明，它具有可逆矩阵，使得相乘等于单位矩阵。因此，可逆矩阵必定是个方阵。如果一个方阵不可逆，它被称为奇异矩阵 (Singular Matrix)。

行列式值

对每个 nxn 矩阵 A，均可对应一个标量 det(A)，它的值将告诉我们矩阵是否为奇异的。如果 $det(A) \neq 0$，则矩阵是非奇异的。否则，矩阵是奇异的。

奇异的和不可逆的是一个意思，可逆的也可以叫做非奇异的。

行列式计算

行列式计算时一种不需要进行矩阵变换，直接使用系数和常数来判断方程组是否有解及有多少解。

1. 二阶行列式

对于一个二阶矩阵 $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $，行列式计算为： $ \text{det}(A) = ad - bc $

2. 三阶行列式

对于一个三阶矩阵 $ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $，行列式计算为： $ \text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $

3. 更高阶行列式

对于高于三阶的矩阵，行列式的计算变得更加复杂。有几种方法可以计算这些行列式：

展开法（Laplace Expansion）：这种方法通过将行列式展开为其较小子矩阵的行列式的和来计算。这通常通过选择一行或一列来完成，然后计算该行或列的每个元素与其对应的余子式的乘积之和。
行（列）简化：将矩阵转换为阶梯形或简化行阶梯形，然后计算对角线元素的乘积。这种方法可能涉及行互换（改变行列式的符号），行倍乘（不改变行列式的值）和行加减（不改变行列式的值）。
递归方法：对于较大的矩阵，可以递归地使用较小阶数的行列式的计算方法。
计算机算法：对于非常大的矩阵，通常使用数值算法进行计算，如高斯消元法。

行列式的计算可以变得非常复杂，特别是对于大型矩阵。但是，这些基本方法为理解行列式的计算提供了一个框架。在实践中，对于大型矩阵，通常使用计算机软件来执行这些计算。

概念